ο»Ώ1 Diketahui x + 3y + 2z = 16, 2x + 4y - 2z = 12, dan x + y + 4z = 20. Tentukan nilai x, y, z! Pembahasan: Substitusi x + y + 4z = 20 x = 20 - y - 4z x + 3y + 2z = 16 (20 - y - 4z) + 3y + 2z = 16 2y - 2z + 20 = 16 2y - 2z = 16 - 20 2y - 2z = -4 y - z = -2 2x + 4y - 2z = 12 2 (20 - y - 4z) + 4y - 2z = 12 40 - 2y - 8z + 4y - 2z = 12
Diketahuisistem persamaan tiga variabel berikut: β©β¨β§ x+12 + yβ32 + z+23 = 2 (1) x+1β4 + yβ31 + z+26 = 5 (2) x+14 + yβ33 + z+23 = 2 (3) Iklan PN P. Nur Master Teacher Jawaban terverifikasi Pembahasan Ingat bahwa persamaan linear adalah persamaan yang mengandung variabel berpangkat satu.
1) x + y = 6 (2) Seperti sudah dijelaskan sebelumnya, sistem persamaan linear bisa diselesaikan dengan berbagai metode. Berikut ini adalah penyelesaian sistem persamaan linear pada contoh di atas dengan menggunakan beberapa metode. Penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode grafik
Diketahuisistem persamaan linear tiga variabel berikut. x + 2y + 4z = 0 .. (1) 2x - y + 5z = 27 .. (2) 3x + y - 3z = 15 .. (3) Himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah. a. { (-8,-6, 1)} b. { (-8, 6, 1)} d. { (1,6,1)} e. { (8,-6, 1)} C. { (1, -6, 1)} 12rb+ 4 Jawaban terverifikasi Iklan OO Osmond O Level 1
. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel SPLTV merupakan salah satu materi matematika wajib / peminatan yang dipelajari saat tingkat SMA, tepatnya di kelas X. Materi ini sebenarnya merupakan lanjutan dari materi SPLDV yang sudah dipelajari saat tingkat SMP. Oleh karenanya, pembaca disarankan sudah menguasai metode penyelesaian SPLDV terlebih dahulu. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel SPLTV diartikan sebagai kumpulan persamaan linear yang memuat tiga variabel dengan bentuk umum $$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z & = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = d_3 \end{cases}$$ Untuk memantapkan pemahaman tentang materi SPLTV ini, berikut disajikan sejumlah soal beserta pembahasannya dengan tipe berupa soal ingatan dan pemahaman soal noncerita. Soal juga dapat diunduh dengan mengklik tautan berikut Download PDF, 145 KB. Baca Juga Soal dan Pembahasan β Sistem Persamaan Linear Dua Variabel SPLDV Baca Juga Soal dan Pembahasan β Soal Cerita Aplikasi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel SPLTV Quote by Ki Hajar Dewantara Jadikan setiap tempat sebagai sekolah dan jadikan setiap orang sebagai guru. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Perhatikan beberapa sistem persamaan linear berikut. $1$. $\begin{cases} 4x+y+z & = y-2 \\ 3x+2z & = 2y \\ 3y+z & = 0 \end{cases}$ $2$. $\begin{cases} x-y+4 & = 4 \\ 10x-2y+2 & = z+2 \\ 6x-y & = 2y \end{cases}$ $3$. $\begin{cases} 5y+3z+2 & = x+2 \\ 2y-5z & = 0 \\ 13y-z+100 & = 100 \end{cases}$ $4$. $\begin{cases} 10-x+z & = 5y+10 \\ 5x+3y & = 2z+5 \\ 7x+y+11z & = 0 \end{cases}$ Sistem persamaan linear homogen ditunjukkan oleh nomor $\cdots \cdot$ A. $1, 2$, dan $3$ B. $1, 2$, dan $4$ C. $1$ dan $3$ D. $2$ dan $3$ E. $2$ dan $4$ Pembahasan Sistem persamaan linear homogen adalah sistem persamaan linear yang masing-masing persamaannya berkonstanta $0$. Bentuk umumnya adalah $\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z & = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = 0 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = 0 \end{cases}$ Analisis SPL nomor $1$ $\begin{cases} 4x+y+z & = y-2 \\ 3x+2z & = 2y \\ 3y+z & = 0 \end{cases}$ Ubah SPL di atas menjadi bentuk umumnya. $\begin{cases} 4x+z& = -2 && \cdots 1 \\ 3x-2y+2z & = 0 && \cdots 2 \\ 3y+z & = 0 && \cdots 3 \end{cases}$ Tampak bahwa persamaan $1$ memuat konstanta $-2$ sehingga SPL tersebut tidak homogen. Analisis SPL nomor $2$ $\begin{cases} x-y+4 & = 4 \\ 10x-2y+2 & = z+2 \\ 6x-y & = 2y \end{cases}$ Ubah SPL di atas menjadi bentuk umumnya. $\begin{cases} x-y & = 0 \\ 10x-2y-z & = 0 \\ 6x-3y& = 0 \end{cases}$ SPL di atas homogen karena seluruh persamaannya berkonstanta $0$. Analisis SPL nomor $3$ $\begin{cases} 5y+3z+2 & = x+2 \\ 2y-5z & = 0 \\ 13y-z+100 & = 100 \end{cases}$ Ubah SPL di atas menjadi bentuk umumnya. $\begin{cases} -x+5y+3z & = 0 \\ 2y-5z & = 0 \\ 13y-z& =0 \end{cases}$ SPL di atas homogen karena seluruh persamaannya berkonstanta $0$. Analisis SPL nomor $4$ $\begin{cases} 10-x+z & = 5y+10 \\ 5x+3y & = 2z+5 \\ 7x+y+11z & = 0 \end{cases}$ Ubah SPL di atas menjadi bentuk umumnya. $\begin{cases} -x-5y+z & = 0 && \cdots 1 \\ 5x+3y-2z & = 5 && \cdots 2 \\ 7x+y+11z & = 0 && \cdots 3 \end{cases}$ Tampak bahwa persamaan $2$ memuat konstanta $5$ sehingga SPL tersebut tidak homogen. Jadi, sistem persamaan linear homogen ditunjukkan oleh nomor $2$ dan $3$. Jawaban D [collapse] Soal Nomor 2 Sistem persamaan linear tiga variabel yang tidak mempunyai penyelesaian ditunjukkan oleh $\cdots \cdot$ A. $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+4z& =30 \\ 6x-3y+12z & = 45 \end{cases}$ B. $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+4z& =45 \\ 6x-3y+12z & = 60 \end{cases}$ C. $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 6x+3y+12z & = 45 \end{cases}$ D. $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 6x-3y+12z & = 45 \end{cases}$ E. $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 2x+y-4z & = 15 \end{cases}$ Pembahasan Analisis SPLTV pada pilihan A $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+4z& =30 \\ 6x-3y+12z & = 45 \end{cases}$ dapat disederhanakan menjadi $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && \cdots 1 \\ 2x-y+2z& =15 && \cdots 2 \\ 2x-y+4z & = 15 && \cdots 3 \end{cases}$ Perhatikan bahwa persamaan $1$ dan $3$ sebenarnya ekuivalen sehingga SPLTV tersebut hanya memuat $2$ persamaan dan $3$ variabel. Dengan demikian, SPLTV tersebut akan memiliki banyak penyelesaian. Analisis SPLTV pada pilihan B $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+4z& =45 \\ 6x-3y+12z & = 60 \end{cases}$ dapat disederhanakan menjadi $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && \cdots 1 \\ 2x-y+2z& =22,5 && \cdots 2 \\ 2x-y+4z & = 20 && \cdots 3 \end{cases}$ Perhatikan bahwa persamaan $1$ dan $3$ tidak akan mungkin terpenuhi perhatikan perbedaan konstantanya sehingga SPLTV tersebut tidak memiliki penyelesaian. Analisis SPLTV pada pilihan C $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 6x+3y+12z & = 45 \end{cases}$ dapat disederhanakan menjadi $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && \cdots 1 \\ 2x-y+4z& =15 && \cdots 2 \\ 2x+y+4z & = 15 && \cdots 3 \end{cases}$ Perhatikan bahwa persamaan $1$ dan $2$ ekuivalen sehingga SPLTV tersebut sebenarnya hanya memuat $2$ persamaan dan $3$ variabel. Dengan demikian, SPLTV tersebut akan memiliki banyak penyelesaian. Analisis SPLTV pada pilihan D $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 6x-3y+12z & = 45 \end{cases}$ dapat disederhanakan menjadi $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && \cdots 1 \\ 2x-y+4z& =15 && \cdots 2 \\ 2x-y+4z & = 15 && \cdots 3 \end{cases}$ Perhatikan bahwa persamaan $1, 2$, dan $3$ ekuivalen sehingga SPLTV tersebut sebenarnya hanya memuat $1$ persamaan dan $3$ variabel. Dengan demikian, SPLTV tersebut akan memiliki banyak penyelesaian. Analisis SPLTV pada pilihan E $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 2x+y-4z & = 15 \end{cases}$ dapat disederhanakan menjadi $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && \cdots 1 \\ 2x-y+4z& =15 && \cdots 2 \\ 2x+y-4z & = 15 && \cdots 3 \end{cases}$ Perhatikan bahwa persamaan $1$ dan $2$ ekuivalen sehingga SPLTV tersebut sebenarnya hanya memuat $2$ persamaan dan $3$ variabel. Dengan demikian, SPLTV tersebut akan memiliki banyak penyelesaian. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 3 Diketahui sistem persamaan linear $\begin{cases} x+y-z & =-3 \\ x+2y+z & =7 \\ 2x+y+z & = 4 \end{cases}$ Nilai dari $x+y+z= \cdots \cdot$ A. $3$ C. $5$ E. $8$ B. $4$ D. $6$ Pembahasan Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu. $\begin{cases} x+y-z & =-3 && \cdots 1 \\ x+2y+z & =7 && \cdots 2 \\ 2x+y+z & = 4 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $z$ dari persamaan $1$ dan $2.$ $\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+y-z & = -3 \\ x+2y+z& = 7 \end{aligned} \\ \rule{3 cm}{ + \\ \! \begin{aligned}~\color{blue}{2x+3y = 4~~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $z$ dari persamaan $2$ dan $3.$ $\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+2y+z & = 7 \\ 2x+y+z & = 4 \end{aligned} \\ \rule{3 cm}{ β \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{-x+y = 3~~~~\cdots 5} \end{aligned} \end{aligned}$ Selanjutnya, eliminasi $x$ dari persamaan $4$ dan $5$ untuk mendapatkan nilai $y$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x+3y & = 4 \\ -x+y & = 3 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~2x+3y& = 4 \\ -2x+2y & = 6 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} 5y & = 10 \\ y & = 2 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $y = 2$ pada persamaan $5$ untuk memperoleh $-x + 2 = 3 \Leftrightarrow x = -1.$ Terakhir, substitusi $x=-1$ dan $y=2$ pada persamaan $1 x+y-z=-3$ untuk mendapatkan $-1+2-z=-3 \Leftrightarrow z = 4.$ Jadi, nilai dari $\boxed{x+y+z=-1+2+4=5}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 4 Jika $\{x_0, y_0, z_0\}$ memenuhi sistem persamaan $\begin{cases} 3x-2y-3z & =5 \\ x+y-2z & =3 \\ x-y+z & =-4 \end{cases}$, maka nilai $z_0$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-3$ C. $-1$ E. $5$ B. $-2$ D. $4$ Pembahasan Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu. $\begin{cases} 3x-2y-3z & =5 && \cdots 1 \\ x+y-2z & =3 && \cdots 2 \\ x-y+z & =-4 && \cdots 3 \end{cases}$ Persamaan $3$ dapat ditulis menjadi $x = -4+y-z.$ Substitusikan pada persamaan $1$ terlebih dahulu. $$\begin{aligned} 3\color{red}{x}-2y-3z & = 5 \\ 3\color{red}{-4+y-z}-2y-3z & = 5 \\ -12+3y-3z-2y-3z & = 5 \\ y-6z & = 17 && \cdots 4 \end{aligned}$$Selanjutnya, substitusikan pada persamaan $2$. $\begin{aligned} \color{red}{x}+y-2z & = 3 \\ \color{red}{-4+y-z}+y-2z & = 3 \\ 2y-3z & = 7 && \cdots 5 \end{aligned}$ Eliminasi $y$ dari persamaan $4$ dan $5$ untuk menentukan nilai $z$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} y-6z & = 17 \\ 2y-3z & = 7 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~2y-12z& = 34 \\ 2y-3z & = 7 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ β \\ & \! \begin{aligned} -9z & = 27 \\ z & = -3 \end{aligned} \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{z_0 = -3}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 5 Diberikan sistem persamaan berikut. $\begin{cases} x+y+z & =1 \\ 2x-y-z & = -5 \\ 2x-2y-z & = 7 \end{cases}$ Nilai $x$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-2$ D. $\dfrac23$ B. $-\dfrac43$ E. $\dfrac43$ C. $-\dfrac23$ Pembahasan Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu. $\begin{cases} x+y+z & =1 && \cdots 1 \\ 2x-y-z & = -5 && \cdots 2 \\ 2x-2y-z & = 7 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $y$ dan $z$ pada persamaan $1$ dan $2$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+y+z & = 1 \\ 2x-y-z & = -5 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} 3x & = -4 \\ x & = -\dfrac43 \end{aligned} \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{x = -\dfrac43}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 6 Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $\begin{cases} x+4y-z & =1 \\ -x+2y+z & =2 \\ 2x+6y+z & =-8 \end{cases}$ adalah $\{x,y,z\}$. Hasil kali $x, y, z$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-9$ C. $-3$ E. $9$ B. $-6$ D. $6$ Pembahasan Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu. $\begin{cases} x+4y-z & =1 && \cdots 1 \\ -x+2y+z & =2 && \cdots 2 \\ 2x+6y+z & =-8 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $x$ dan $z$ dari persamaan $1$ dan $2$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+4y-z & = 1 \\ -x+2y+z & = 2 \end{aligned} \\ \rule{3 cm}{ + \\ \! \begin{aligned} 6y & = 3 \\ y & = \dfrac36 = \dfrac12\end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $y = \dfrac12$ pada persamaan $1 x+4y-z=1$. $\begin{aligned} x+4\left\dfrac12\right-z & = 1 \\ x+2-z&=1 \\ x-z&=-1 && \cdots 4 \end{aligned}$ Substitusi $y = \dfrac12$ pada persamaan $3 2x+6y+z=-8$. $\begin{aligned} 2x+6\left\dfrac12\right+z & = -8 \\ 2x+3+z &=-8 \\ 2x+z&=-11 && \cdots 5 \end{aligned}$ Eliminasi $z$ dari persamaan $4$ dan $5$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} x-z & = -1 \\ 2x+z & = -11 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} 3x & = -12 \\ x & = \dfrac{-12}{3} = -4 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $x = -4$ pada persamaan $4 x-z = -1$ sehingga diperoleh $-4-z = -1 \Leftrightarrow z = -3.$ Jadi, hasil kali dari $x,y,z$ adalah $\boxed{xyz = -4\left\dfrac12\right-3 = 6}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 7 Diketahui $\begin{cases} 2x-5y+3z & =-10 \\ 3x+4y+7z & =-11 \\ 5x+3y+7z & =-8 \end{cases}$ mempunyai penyelesaian $x, y, z$. Hasil kali $x,y,z$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-10$ C. $-2$ E. $6$ B. $-6$ D. $2$ Pembahasan Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu. $\begin{cases} 2x-5y+3z=-10 & \cdots 1 \\ 3x+4y+7z=-11 & \cdots 2 \\ 5x+3y+7z=-8 & \cdots 3 \end{cases}$ Perhatikan bahwa persamaan $2$ dan $3$ memuat ekspresi $7z$ sehingga variabel $z$ sebaiknya dieliminasi lebih dulu. Eliminasi $z$ dari persamaan $1$ dan $2$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x-5y+3z& = -10 \\ 3x+4y+7z &=-11 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 7 \\ \times 3 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~14x-35y+21z& = -70\\ 9x+12y+21z & = -33 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ β \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{5x-47y= -37~~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$$Selanjutnya, eliminasi $z$ dari persamaan $2$ dan $3$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x+4y+7z & = -11 \\ 5x+3y+7z & = -8 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ β \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{-2x+y = -3~~~~\cdots 5} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $x$ dari persamaan $4$ dan $5$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5x-47y & = -37 \\ -2x+y &=-3 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 5 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~10x-94y& = -74 \\ -10x+5y & = -15 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} -89y & = -89 \\ y & = 1 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $y = 1$ pada persamaan $5 -2x+y=-3$. $-2x+1 = -3 \Leftrightarrow x = 2.$ Substitusikan $x = 2$ dan $y = 1$ pada persamaan $1 2x-5y+3z=-10$. $\begin{aligned} 22-51+3z & = -10 \\ 4-5+3z & = -10 \\ 3z & = -9 \\ z & = -3 \end{aligned}$ Jadi, hasil kali dari $x,y,z$ adalah $\boxed{xyz = 21-3 = -6}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 8 Penyelesaian dari sistem persamaan $\begin{cases} 3x+7y+2z & =8 \\ 4x+2y-5z & =-19 \\ 6y-4z & =14 \end{cases}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x = 5, y = 3$, dan $z = 1$ B. $x = 4, y = -5$, dan $z = 1$ C. $x = -3, y = 4$, dan $z = 1$ D. $x = -5, y = 3$, dan $z = 2$ E. $x = -5, y = 3$, dan $z = 1$ Pembahasan Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu, lalu sederhanakan persamaan ketiga. $\begin{cases} 3x+7y+2z & =8 && \cdots 1 \\ 4x+2y-5z & =-19 && \cdots 2 \\ 3y-2z & =7 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $x$ dari persamaan $1$ dan persamaan $2.$ $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x+7y+2z & = 8\\ 4x+2y-5z &=-19 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 4 \\ \times 3 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~12x+28y+8z& = 32 \\ 12x+6y-15z & = -57 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ β \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{22y + 23z = 89~~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$$Selanjutnya, eliminasi $z$ dari persamaan $3$ dan $4.$ $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3y-2z & = 7 \\ 22y+23z & = 89 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 23 \\ \times 2 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~69y-46z & = 161 \\ 44y+46z & = 178 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} 113y & = 339 \\ y & = 3 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $y = 3$ pada persamaan $3 3y-2z=7$. $\begin{aligned} 33-2z & = 7 \\ 9-2z & = 7 \\ -2z & = -2 \\ z & = 1 \end{aligned}$ Terakhir, substitusi $y=3$ dan $z = 1$ pada persamaan $1 3x+7y+2z=8$. $\begin{aligned} 3x+73+21 & = 8 \\ 3x + 23 & = 8 \\ 3x & = -15 \\ x & = -5 \end{aligned}$ Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah $x = -5, y = 3$, dan $z = 1$. Jawaban E [collapse] Soal Nomor 9 Perhatikan SPLTV berikut. $$\begin{cases} x+2z & = 3y+2 && \cdots 1 \\ y-z & = -4x-7 && \cdots 2 \\ 3z-2 & = -2x+y-10 && \cdots 3 \end{cases}$$Penyelesaian SPLTV tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $x = 3, y = 3$, dan $z=6$ B. $x = 1, y = 3$, dan $z=-6$ C. $x = 1, y = -3$, dan $z=6$ D. $x = -1, y = 3$, dan $z=6$ E. $x = -1, y = -3$, dan $z=-6$ Pembahasan Ubah bentuk setiap persamaan dari sistem tersebut menjadi bentuk umum. $\begin{cases} x-3y+2z & = 2 && \cdots 1 \\ 4x+y-z & = -7 && \cdots 2 \\ 2x+2y+3z& = 22 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $z$ dari persamaan $1$ dan $2$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x-3y+2z & = 2 \\ 4x+y-z & = -7 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~x-3y+2z& = 2 \\~8x+2y-2z & = -14 \end{aligned} \\ & \rule{4 cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{9x-y = -12~~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $z$ dari persamaan $2$ dan $3$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 4x+y-z & = -7 \\ 2x+2y+3z & = 22 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~12x+3y-3z & = -21 \\ 2x+2y+3z & = 22 \end{aligned} \\ & \rule{4 cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{14x+5y = 1~~~~\cdots 5} \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $y$ dari persamaan $4$ dan $5$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 9x-y & = -12 \\ 14x+5y & = 1 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 5 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~45x-5y & = -60 \\ 14x+5y & = 1 \end{aligned} \\ & \rule{3 cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} 59x & = -59 \\ x & = -1 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $x = -1$ pada persamaan $4$. $\begin{aligned} 9x-y & = -12 \\ \Rightarrow 9-1-y & = -12 \\ -y & = -3 \\ y & = 3 \end{aligned}$ Substitusi $x = -1$ dan $y=3$ pada persamaan $1$. $\begin{aligned} x-3y+2z & = 2 \\ \Rightarrow -1-33+2z & = 2 \\ -10+2z & = 2 \\ 2z & = 12 \\ z & = 6 \end{aligned}$ Jadi, penyelesaian dari sistem tersebut adalah $\boxed{x = -1, y = 3, z = 6}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 10 Diketahui sistem persamaan linear $\begin{cases} x+2y+z & =6 \\ x+3y+2z & =9 \\ 2x+y+2z & =12 \end{cases}$ Nilai dari $x+y+z = \cdots \cdot$ A. $3$ C. $6$ E. $9$ B. $4$ D. $8$ Pembahasan Tanpa perlu mencari nilai $x, y, z$ masing-masing, kita dapat menentukan nilai dari $x+y+z$. Diberikan SPLTV berikut. $\begin{cases} x+2y+z & =6 && \cdots 1 \\ x+3y+2z & =9 && \cdots 2 \\ 2x+y+2z & =12 && \cdots 3 \end{cases}$ Jumlahkan ekspresi pada persamaan $1$ dan $3$, $\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+2y+z & = 6 \\ 2x+y+2z & = 12 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} 3x+3y+3z & = 18 \\ x+y+z & = 6\end{aligned} \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{x+y+z=6}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 11 Perhatikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut. $$\begin{cases} x+5y+2z & = -a-b-c && \cdots 1 \\ 3x-y+4z&=5a+b && \cdots 2 \\ 2x+y+5z & = 6a+1 && \cdots 3 \end{cases}$$Jika himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\{-2, -3, 4\}$, maka nilai $2a+b+3c = \cdots \cdot$ A. $9$ C. $17$ E. $24$ B. $15$ D. $19$ Pembahasan Diketahui $x, y, z = -2, -3, 4$ merupakan penyelesaian SPLTV tersebut. Substitusi nilai-nilai $x, y, z$ ini pada persamaan $3$. $\begin{aligned} 2x+y+5z & = 6a + 1 \\ 2-2 + -3 + 54 & = 6a+1 \\ -4+-3+20 & = 6a+1 \\ 12 & = 6a \\ a & = 2 \end{aligned}$ Substitusi nilai $x, y, z = -2, -3, 4$ dan $a = 2$ pada persamaan $2$. $\begin{aligned} 3x-y+4z&=5a+b \\ 3-2-3+44 & = 52+b \\ -6+3+16 & = 10+b \\ b & = 3 \end{aligned}$ Substitusikan nilai $x, y, z = -2, -3, 4$, $a = 2$, dan $b = 3$ pada persamaan $1$. $\begin{aligned} x+5y+2z & = -a-b-c \\ -2+5-3+24 & = -2-3-c \\ -2-15+8 & = -5-c \\ -9 & = -5-c \\ c & = 4 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{2a+b+3c = 22+3+34 = 19}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 12 Perhatikan SPLTV berikut. $\begin{cases} 2x+5y+3z & = 9 && \cdots 1 \\ 4x+10y+6z & = d_2 && \cdots 2 \\ 6x+15y+9z & = d_3 && \cdots 3 \end{cases}$ Agar SPLTV tersebut mempunyai banyak penyelesaian, nilai $d_2$ dan $d_3$ yang mungkin adalah $\cdots \cdot$ A. $18$ dan $20$ D. $27$ dan $36$ B. $18$ dan $24$ E. $27$ dan $45$ C. $18$ dan $27$ Pembahasan Jika diketahui SPLTV $$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z & = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = d_3 \end{cases}$$memiliki banyak penyelesaian, maka $\dfrac{a_i}{a_j} = \dfrac{b_i}{b_j} = \dfrac{c_i}{c_j} = \dfrac{d_i}{d_j}$, dengan $i = 1, 2, 3$ dan $j = 1, 2, 3.$ Dengan meninjau persamaan $2$ dan $3$, diperoleh $$\begin{aligned} \dfrac46 & = \dfrac{10}{15} = \dfrac69 = \dfrac{d_2}{d_3} \\ \dfrac{d_2}{d_3} & = \dfrac23 \end{aligned}$$Ini menunjukkan bahwa nilai $d_2$ dan $d_3$ yang mungkin harus memiliki perbandingan $2 3$. Salah satunya adalah $d_2 = 18$ dan $d_3 = 27$, sebab $18 27 = 2 3.$ Jawaban C [collapse] Baca Juga Materi, Soal, dan Pembahasan β Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Soal Nomor 13 Perhatikan sistem persamaan linear berikut. $\begin{cases} ax+y+2z & = 5 && \cdots 1 \\ bx-y+3z & = 3 && \cdots 2 \\ cx-y+z & = -1 && \cdots 3 \end{cases}$ Jika $a+b=7$ dan $a+c=5$, maka nilai $12x+8z=\cdots \cdot$ A. $8$ C. $12$ E. $18$ B. $10$ D. $16$ Pembahasan Eliminasi $y$ dari persamaan $1$ dan $2$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} ax+y+2z & = 5 \\ bx-y+3z & = 3 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} a+bx+5z & = 8 \end{aligned} \end{aligned}$ Karena diketahui $a + b = 7$, maka diperoleh persamaan $4 7x+5z=8$. Eliminasi $y$ dari persamaan $1$ dan $3$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} ax+y+2z & = 5 \\ cx-y+z & = -1 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} a+cx+3z & = 4 \end{aligned} \end{aligned}$ Karena diketahui $a + c = 5$, maka diperoleh persamaan $5 5x+3z=4$. Selanjutnya, jumlahkan ekspresi pada persamaan $4$ dan $5$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 7x +5z & = 8 \\ 5x+3z & = 4 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} 12x+8z & = 12 \end{aligned} \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{12x+8z=12}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 14 Diketahui sistem persamaan $\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} & = 2 \\ \dfrac{2}{y} -\dfrac{1}{z} & = -3 \\ \dfrac{1}{x} -\dfrac{1}{z} & = 2 \end{cases}$ Nilai $x+y+z=\cdots \cdot$ A. $3$ C. $1$ E. $\dfrac13$ B. $2$ D. $\dfrac12$ Pembahasan Misalkan $a = \dfrac{1}{x}, b = \dfrac{1}{y}$, dan $c = \dfrac{1}{z}$ sehingga terbentuk sistem persamaan linear tiga variabel berikut. $\begin{cases} a + b & = 2 && \cdots 1 \\ 2b-c & = -3 && \cdots 2 \\ a-c & = 2 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $a$ dari persamaan $1$ dan $3$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} a + b & = 2 \\ a-c & = 2 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ β \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{b+c = 0~~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $c$ dari persamaan $2$ dan $4$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2b-c & = -3 \\ b+c & = 0 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned}3b & = -3 \\ b & = -1 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusikan $b=-1$ pada persamaan $4 b+c = 0$ untuk memperoleh $-1 + c = 0 \Leftrightarrow c = 1$ Substitusikan $b=-1$ pada persamaan $1 a+b=2$ untuk memperoleh $a+-1=2 \Leftrightarrow a = 3$ Dengan demikian, $\begin{aligned} x + y + z & = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \\ & = \dfrac13 + \cancel{\dfrac{1}{-1} + \dfrac{1}{1}} \\ & = \dfrac13 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{x+y+z=\dfrac13}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 15 Diketahui sistem persamaan tiga variabel berikut. $$\begin{cases} \dfrac{2}{x+1} + \dfrac{2}{y-3} + \dfrac{3}{z+2} & = 2 && \cdots 1 \\ \dfrac{-4}{x+1} + \dfrac{1}{y-3} + \dfrac{6}{z+2} & = 5 && \cdots 2 \\ \dfrac{4}{x+1} + \dfrac{3}{y-3} + \dfrac{3}{z+2} & = 2 && \cdots 3 \end{cases}$$Himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $\{-3, 4, 1\}$ B. $\{-3, 1,2\}$ C. $\{-2,1,1\}$ D. $\left\{\left-\dfrac12, 1, 3\right\right\}$ E. $\left\{\left-\dfrac12, 2, 1\right\right\}$ Pembahasan Misalkan $a = \dfrac{1}{x+1}$, $b = \dfrac{1}{y-3}$, dan $c = \dfrac{1}{z+2}$ sehingga setiap persamaan dari sistem di atas dapat diubah bentuknya menjadi persamaan linear tiga variabel. $\begin{cases} 2a + 2b + 3c & = 2 && \cdots 1 \\ -4a + b + 6c & = 5 && \cdots 2 \\ 4a + 3b + 3c & = 2 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $c$ dari persamaan $1$ dan $2$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2a+2b+3c & = 2 \\ -4a+b+6c & = 5 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~4a+4b+6c& = 4 \\ -4a+b+6c & = 5 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ β \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{8a + 3b = -1~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $c$ dari persamaan $3$ dan $1$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 4a+3b+3c & = 2 \\ 2a+2b+3c & = 2 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ β \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{2a+b = 0~~~~\cdots 5} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $b$ dari persamaan $4$ dan $5$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 8a+3b & = -1 \\ 2a+b & = 0 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~8a+3b& = -1 \\ 6a+3b & = 0 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ β \\ & \! \begin{aligned} 2a & = -1 \\ a & = -\dfrac12 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $a = -\dfrac12$ pada persamaan $5$. $\begin{aligned} 2a+b & = 0 \\ \Rightarrow 2\left-\dfrac12\right + b & = 0 \\ -1 + b & = 0 \\ b & = 1 \end{aligned}$ Substitusi $a = -\dfrac12$ dan $b=1$ pada persamaan $1$. $\begin{aligned} 2a + 2b + 3c & = 2 \\ \Rightarrow 2\left-\dfrac12\right + 21 + 3c & = 2 \\ -1 + 2 + 3c & = 2 \\ 3c & = 1 \\ c & = \dfrac13 \end{aligned}$ Dengan demikian, akan ditentukan nilai dari $x, y, z$ dengan mensubstitusikan nilai $a, b, c$ yang telah didapat. $$\begin{aligned} a & = \dfrac{1}{x+1} \Rightarrow -\dfrac12 = \dfrac{1}{x+1} \Leftrightarrow -2 = x + 1 \Leftrightarrow x = -3 \\ b & = \dfrac{1}{y-3} \Rightarrow 1 = \dfrac{1}{y-3} \Leftrightarrow 1 = y-3 \Leftrightarrow y = 4 \\ c & = \dfrac{1}{z+2} \Rightarrow \dfrac13 = \dfrac{1}{z+2} \Leftrightarrow 3 = z+2 \Leftrightarrow z = 1 \end{aligned}$$Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\{-3, 4, 1\}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 16 Diketahui $x y = 5 3$, sedangkan $y z = 4 5$. Jika $2x+y+z=94$, maka nilai $3y = \cdots \cdot$ A. $12$ C. $20$ E. $45$ B. $15$ D. $36$ Pembahasan Karena $x y = 5 3 = 20 12$ dan $y z = 4 5 = 12 15$, maka $x y z = 20 12 15$. Diketahui $2x+y+z=94 \Leftrightarrow x+y+z=47.$ Dengan demikian $\begin{aligned} y & = \dfrac{12}{20+12+15} \times 47 \\ & = \dfrac{12}{\cancel{47}} \times \cancel{47} = 12 \end{aligned}$ Untuk itu, nilai dari $\boxed{3y = 312 = 36}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 17 Jika $x y z = 2 1 3$ dan $x+y-2z=-6$, maka nilai $x-y+z=\cdots \cdot$ A. $8$ C. $6$ E. $4$ B. $7$ D. $5$ Pembahasan Dari perbandingan $x y z = 2 1 3$, diketahui bahwa $x = 2y$ dan $z = 3y$. Substitusikan pada persamaan $x+y-2z=-6$ untuk memperoleh $\begin{aligned} 2y+y-23y & = -6 \\ 2y+y-6y & = -6 \\ -3y & = -6 \\ y & = 2 \end{aligned}$ Dengan demikian, $x = 2y = 22 = 4$ dan $z = 3y = 32 = 6$. Jadi, nilai dari $\boxed{x-y+z=4-2+6=8}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 18 Diketahui sistem persamaan berikut. $\begin{cases} x^2+y^2+z^2 & = 6 && \cdots 1 \\ x^2-y^2+2z^2 & = 2 && \cdots 2 \\ 2x^2+y^2-z^2 & = 3 && \cdots 3 \end{cases}$ Salah satu penyelesaian yang memenuhi sistem persamaan di atas adalah $\cdots \cdot$ A. $x=-1, y = \sqrt2, z = \sqrt3$ B. $x=-1, y = \sqrt3, z = \sqrt2$ C. $x=1, y = \sqrt2, z = \sqrt3$ D. $x=\sqrt2, y = \sqrt3, z = \sqrt2$ E. $x=\sqrt2, y = 1, z = \sqrt3$ Pembahasan Misalkan $a = x^2$, $b = y^2$, dan $c = z^2$ sehingga setiap persamaan dari sistem di atas dapat diubah bentuknya menjadi persamaan linear tiga variabel. $\begin{cases} a+b+c & = 6 && \cdots 1 \\ a-b+2c & = 2 && \cdots 2 \\ 2a+b-c & = 3 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $b$ dari persamaan $1$ dan $2$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} a+b+c & = 6 \\ a-b+2c & = 2 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{2a+3c = 8~~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $b$ dari persamaan $2$ dan $3$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} a-b+2c & = 2 \\ 2a+b-c & = 3 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{3a+c = 5~~~~\cdots 5} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $c$ dari persamaan $4$ dan $5$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2a+3c & = 8 \\ 3a+c & = 5 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~2a+3c& = 8 \\ 9a+3c & = 15 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ β \\ & \! \begin{aligned} -7a & = -7 \\ a & = 1 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $a=1$ pada persamaan $5 3a + c = 5$. $\begin{aligned} 31 + c & = 5 \\ c & = 2 \end{aligned}$ Substitusi $a = 1$ dan $c = 2$ pada persamaan $1 a+b+c = 6$ $\begin{aligned} 1+b+2 & = 6 \\ b & = 3 \end{aligned}$ Dengan demikian, akan ditentukan nilai dari $x, y, z$ dengan mensubstitusikan nilai $a, b, c$ yang telah didapat. $\begin{aligned} a & = x^2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \\ b & = y^2 \Rightarrow y^2 = 3 \Rightarrow y = \pm \sqrt3 \\ c & = z^2 \Rightarrow z^2 = 2 \Rightarrow z = \pm \sqrt2 \end{aligned}$ Jadi, salah satu himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\{-1, \sqrt3, \sqrt2\}.$ Jawaban B [collapse] Baca Materi, Soal, dan Pembahasan β Aturan Cramer Soal Nomor 19 Diberikan sistem persamaan linear berikut. $\begin{cases} x+2y-3z & =4 \\ 3x-y+5z & =2 \\ 4x+y+a^2-14z & = a+2 \end{cases}$ Sistem di atas tidak memiliki solusi untuk $a = \cdots \cdot$ A. $-4$ atau $4$ D. $-1$ atau $1$ B. $-3$ atau $3$ E. $-4$ saja C. $-2$ atau $2$ Pembahasan Diketahui $$\begin{cases} x+2y-3z & =4 && \cdots 1 \\ 3x-y+5z & =2 && \cdots 2 \\ 4x+y+a^2-14z & = a+2 && \cdots 3 \end{cases}$$Matriks koefisien dari SPLTV tersebut adalah $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 3 & -1 & 5 \\ 4 & 1 & a^2-14 \end{pmatrix}.$ Sistem di atas tidak akan memiliki solusi jika dan hanya jika determinan matriks koefisiennya bernilai $0$. Untuk itu, kita peroleh $$\begin{aligned} \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 3 & -1 & 5 \\ 4 & 1 & a^2-14 \end{pmatrix} & = 0 \\ \text{Gunakan Aturan Sarrus} & \\ -a^2-14+40-9-12+5+6a^2-84 & = 0 \\ -7a^2 + 112 & = 0 \\ a^2 -16 & = 0 \\ a+4a-4 & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $a = -4$ atau $a = 4.$ Namun, perlu diperiksa bahwa $a = 4$ membuat persamaan $3$ menjadi $4x + y + 2z = 6$ dan persamaan ini setara dengan menjumlahkan persamaan $1$ dan $2$ sehingga kita simpulkan bahwa $a = 4$ akan membuat sistem memiliki banyak solusi. Jadi, nilai $a$ yang membuat sistem tidak memiliki solusi hanya $\boxed{a = -4}$ Jawaban E [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1 Diberikan sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV berikut. $$\begin{cases} x-2y-2z & = 1 \\ 3x-y + z & = -1 \\ 2x+y-z & = 6 \end{cases}$$Dari beberapa pilihan nilai pasangan terurut $x, y, z$ berikut, manakah yang menjadi penyelesaian dari SPLTV di atas dan manakah yang bukan? Tuliskan alasannya masing-masing. a. $x, y, z = 1, -2, -2$ b. $x, y, z = -1, 2, -2$ c. $x, y, z = 1, 2, -2$ d. $x, y, z = -1, -2, 2$ Pembahasan Namai setiap persamaan pada SPLTV yang diberikan. $$\begin{cases} x-2y-2z & = 1 && \cdots 1 \\ 3x-y + z & = -1 && \cdots 2 \\ 2x+y-z & = 6 && \cdots 3 \end{cases}$$Pasangan terurut $x, y, z$ dikatakan sebagai penyelesaian dari SPLTV jika ketiga nilai variabel tersebut memenuhi ketiga persamaan pada SPLTV secara sekaligus ketika disubstitusikan. Jawaban a $x, y, z = 1, -2, -2$ bukan merupakan penyelesaian SPLTV tersebut karena tidak memenuhi setidaknya salah satu persamaan, yaitu persamaan $1.$ $$\begin{aligned} x-2y-2z & = 1 \\ \Rightarrow 1-2-2-2-2 & = 1 \\ 9 & = 1 && \text{salah} \end{aligned}$$Jawaban b $x, y, z = -1, 2, -2$ bukan merupakan penyelesaian SPLTV tersebut karena tidak memenuhi setidaknya salah satu persamaan, yaitu persamaan $1.$ $$\begin{aligned} x-2y-2z & = 1 \\ \Rightarrow -1-22-2-2 & = 1 \\ -1-4 + 4 & = 1 \\ -1 & = 1 && \text{salah} \end{aligned}$$Jawaban c $x, y, z = 1, 2, -2$ merupakan penyelesaian SPLTV tersebut karena memenuhi semua persamaan pada SPLTV tersebut secara sekaligus. Cara memeriksanya adalah dengan menyubstitusikan nilai $x, y, z$ masing-masing pada ketiga persamaan dan lihat apakah persamaan tersebut nantinya bernilai benar/salah. Persamaan $1$ $$\begin{aligned} x-2y-2z & = 1 \\ \Rightarrow 1-22-2-2 & = 1 \\ 1-4+4 & = 1 \\ 1 & = 1 && \text{benar} \end{aligned}$$Persamaan $2$ $$\begin{aligned} 3x-y + z & = -1 \\ \Rightarrow 31-2+-2 & = -1 \\ 3-2-2 & = -1 \\ -1 & = -1 && \text{benar} \end{aligned}$$Persamaan $3$ $$\begin{aligned} 2x+y-z & = 6 \\ \Rightarrow 21 + 2-2 & = 6 \\ 2+2+2 & = 6 \\ 6 & = 6 && \text{benar} \end{aligned}$$Jawaban d $x, y, z = -1, -2, 2$ bukan merupakan penyelesaian SPLTV tersebut karena tidak memenuhi setidaknya salah satu persamaan, yaitu persamaan $1.$ $$\begin{aligned} x-2y-2z & = 1 \\ \Rightarrow -1-2-2-22 & = 1 \\ -1 + 4-4 & = 1 \\ -1 & = 1 && \text{salah} \end{aligned}$$ [collapse] Soal Nomor 2 Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut. $\begin{cases} \dfrac{2x-y}{5} & = z+1 && \cdots 1 \\ 3x+2 & = y+2z && \cdots 2 \\ \dfrac{5x+2z}{3} & = -\dfrac{y+9}{4} && \cdots 3 \end{cases}$ Pembahasan Ubah setiap persamaan dalam sistem menjadi bentuk umum persamaan linear dan hindari bentuk pecahan guna mempermudah perhitungan. Pada persamaan $1$, $\begin{aligned} \dfrac{2x-y}{5} & = z+1 \\ 2x-y & = 5z + 5 \\ 2x-y-5z & = 5 \end{aligned}$ Pada persamaan $2$, $\begin{aligned} 3x+2 & = y+2z \\ 3x-y-2z & = -2 \end{aligned}$ Pada persamaan $3$, $\begin{aligned} \dfrac{5x+2z}{3} & = -\dfrac{y+9}{4} \\ 45x+2z & = -3y+9 \\ 20x+8z & = -3y-27 \\ 20x+3y+8z & = -27 \end{aligned}$ Sekarang, dapat kita tuliskan SPLTV berikut. $\begin{cases} 2x-y-5z & = 5 && \cdots 1 \\ 3x-y-2z & = -2 && \cdots 2 \\ 20x+3y+8z & = -27 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $y$ pada persamaan $1$ dan $2$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x-y-5z & = 5 \\ 3x-y-2z & = -2 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ β \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{-x-3z = 7~~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $y$ pada persamaan $2$ dan $3$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x-y-2z & = -2 \\ 20x+3y+8z & = -27 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~9x-3y-6z& = -6 \\~20x+3y+8z & = -27 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{29x+2z = -33~~~~\cdots 5} \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $z$ dari persamaan $4$ dan $5$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} -x-3z & = 7 \\ 29x+2z & = -33 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 3 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned} -2x-6z & = 14 \\ 87x+6z & = -99 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} 85x & = -85 \\ x & = -1 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusikan $x = -1$ pada persamaan $4$. $\begin{aligned} -x-3z & = 7 \\ \Rightarrow -1-3z & = 7 \\ -3z & = 6 \\ z & = -2 \end{aligned}$ Substitusikan $x = -1$ dan $z = -2$ pada persamaan $1$. $\begin{aligned} 2x-y-5z & = 5 \\ \Rightarrow 2-1-y-5-2 & = 5 \\ -2-y+10 & = 5 \\ -y & = -3 \\ y & = 3 \end{aligned}$ Jadi, penyelesaian sistem tersebut adalah $\boxed{x,y,z = -1, 3, -2}$ [collapse] Soal Nomor 3 Diketahui sistem persamaan tiga variabel berikut. $$\begin{cases} -\dfrac{4}{x+2} + \dfrac{4}{y+1} + \dfrac{9}{z-1} & = -6 && \cdots 1 \\ \dfrac{8}{x+2}- \dfrac{6}{y+1} + \dfrac{3}{z-1} & = 4 && \cdots 2 \\ \dfrac{4}{x+2} + \dfrac{2}{y+1}- \dfrac{6}{z-1} & = 2 && \cdots 3 \end{cases}$$ a. Tentukan HP SPLTV tersebut. b. Tentukan nilai $5x-y-2z$. Pembahasan Jawaban a Misalkan $a = \dfrac{1}{x+2}$, $b = \dfrac{1}{y+1}$, dan $c = \dfrac{1}{z-1}$ sehingga setiap persamaan dari sistem di atas dapat diubah bentuknya menjadi persamaan linear tiga variabel. $\begin{cases} -4a+4b+9c & = -6 && \cdots 1 \\ 8a-6b+3c& = 4 && \cdots 2 \\ 4a+2b-6c & = 2 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $a$ dari persamaan $1$ dan $2$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} -4a+4b+9c & = -6 \\ 8a-6b+3c & = 4 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned} -8a+8b+18c & = -12 \\ 8a-6b+3c & = 4 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{2b+21c = -8~~~\cdots 4}\end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $a$ dari persamaan $1$ dan $3$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} -4a+4b+9c & = -6 \\ 4a+2b-6c & = 2 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{6b+3c = -4~~~~\cdots 5} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $b$ dari persamaan $4$ dan $5$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2b+21c & = -8 \\ 6b+3c & = -4 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~6b+63c& = -24 \\ 6b+3c & = -4 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ β \\ & \! \begin{aligned} 60c & = -20 \\ c & = -\dfrac13 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $c = -\dfrac13$ pada persamaan $5$. $\begin{aligned} 6b + 3c & = -4 \\ \Rightarrow 6b + 3\left-\dfrac13\right & = -4 \\ 6b-1& = -4 \\ 6b & = -3 \\ b & = -\dfrac12 \end{aligned}$ Substitusi $b = -\dfrac12$ dan $c = -\dfrac13$ pada persamaan $3$. $$\begin{aligned} 4a+2b-6c & = 2 \\ 2a + b-3c & = 1 && \text{Bagi}~2 \\ \Rightarrow 2a+\left-\dfrac12\right-3\left-\dfrac13\right & = 1 \\ 2a-\dfrac12+1 & = 1 \\ 2a & = \dfrac12 \\ a & = \dfrac14 \end{aligned}$$Dengan demikian, akan ditentukan nilai dari $x, y, z$ dengan mensubstitusikan nilai $a, b, c$ yang telah didapat. $$\begin{aligned} a &= \dfrac{1}{x+2} \Rightarrow \dfrac14 = \dfrac{1}{x+2} \Leftrightarrow 4 = x + 2 \Leftrightarrow x = 2 \\ b &= \dfrac{1}{y+1} \Rightarrow -\dfrac12 = \dfrac{1}{y+1} \Leftrightarrow -2 = y+1 \Leftrightarrow y = -3 \\ c & = \dfrac{1}{z-1} \Rightarrow -\dfrac13 = \dfrac{1}{z-1} \Leftrightarrow -3 = z-1 \Leftrightarrow z = -2 \end{aligned}$$Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\{2, -3, -2\}$ Jawaban b Substitusi $x, y, z = 2, -3, -2$ pada ekspresi $5x-y-2z$ untuk memperoleh $$\boxed{52-3-2-2 = 10+3+4 = 17}$$ [collapse] Soal Nomor 4 Diketahui segitiga $KLM$ dengan panjang sisi yang membentuk SPLTV berikut. $\begin{cases} 2KL-LM & = 17~\text{cm} && \cdots 1 \\ LM+2KM & = 73~\text{cm} && \cdots 2 \\ KL+\dfrac{KM}{5} & = 25~\text{cm} && \cdots 3 \end{cases}$ Tentukan a. panjang $KM$; b. panjang $KL$; c. keliling segitiga $KLM$. Pembahasan Pertama-tama, kalikan $5$ di kedua ruas pada persamaan $3$ untuk menghindari bentuk pecahan. $$\begin{cases} 2KL-LM & = 17~\text{cm} && \cdots 1 \\ LM+2KM & = 73~\text{cm} && \cdots 2 \\ 5KL+KM & = 125~\text{cm} && \cdots 3 \end{cases}$$Eliminasi $LM$ dari persamaan $1$ dan $2$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2KL-LM & = 17 \\ LM+2KM & = 73 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} 2KL+2KM & = 90 \\ KL + KM & = 45~~~~\cdots 4 \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $KM$ dari persamaan $3$ dan $4$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5KL+KM & = 125 \\ KL+KM & = 45 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ β \\ \! \begin{aligned} 4KL & = 80 \\ KL & = 20~\text{cm} \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $KL = 20~\text{cm}$ pada persamaan $4$. $\begin{aligned} KL + KM & = 45 \\ 20 + KM & = 45 \\ KM & = 25~\text{cm} \end{aligned}$ Substitusi $KL = 20~\text{cm}$ pada persamaan $1$. $\begin{aligned} 2KL-LM & = 17 \\ 220-LM & = 17 \\ LM & = 23~\text{cm} \end{aligned}$ Jawaban a Panjang sisi $KM$ adalah $\boxed{25~\text{cm}}$ Jawaban b Panjang sisi $KL$ adalah $\boxed{20~\text{cm}}$ Jawaban c Keliling segitiga $KLM$ dapat ditentukan dengan menjumlahkan semua paniang sisinya, yaitu $\begin{aligned} k & = KL + KM + LM \\ & = 20+25+23 = 68~\text{cm}. \end{aligned}$ [collapse]
Daftar isiPengertian Sistem Persamaan Linear Tiga VariabelBentuk Umum SPLTVMetode Penyelesaian SPLTV1. Metode Substitusi2. Metode Eliminasi3. Metode Matriks dan Operasi Baris Elementer4. Metode CramerContoh Soal SPLTVSistem persamaan linear tiga variabel adalah konsep penting dalam matematika yang memiliki aplikasi luas di berbagai bidang, seperti fisika, ekonomi, dan teknik. Dalam sistem ini, terdapat tiga persamaan linear yang melibatkan tiga variabel yang saling mempengaruhi satu sama dan menguasai konsep ini menjadi kunci untuk memecahkan masalah yang melibatkan hubungan kompleks antara variabel-variabel tersebut. Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi sifat-sifat dasar dari sistem persamaan linear tiga variabel, metode penyelesaiannya, dan penerapannya dalam kehidupan persamaan linear tiga variabel merujuk pada kumpulan tiga persamaan linear yang melibatkan tiga variabel yang tidak diketahui. Dalam matematika, persamaan linear adalah persamaan yang melibatkan variabel-variabel dengan pangkat yang hanya satu, dan tidak ada produk atau pangkat yang lebih tinggi dari variabel konteks sistem persamaan linear tiga variabel, tiga persamaan tersebut biasanya berbentukaβx + bβy + cβz = dβaβx + bβy + cβz = dβaβx + bβy + cβz = dβDi mana x, y, dan z adalah variabel-variabel yang tidak diketahui, sementara aβ, aβ, aβ, bβ, bβ, bβ, cβ, cβ, cβ, dβ, dβ, dan dβ adalah koefisien-koefisien yang sistem persamaan linear tiga variabel melibatkan mencari nilai-nilai variabel x, y, dan z yang memenuhi ketiga persamaan tersebut secara simultan. Solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel bisa berupa satu titik tunggal, beberapa titik, atau tidak ada titik sama yang baik tentang sistem persamaan linear tiga variabel sangat penting karena memungkinkan kita untuk memodelkan dan menganalisis berbagai situasi nyata yang melibatkan tiga faktor yang saling Umum SPLTVBentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel SPLTV dapat dinyatakan sebagai berikutaβx + bβy + cβz = dβaβx + bβy + cβz = dβaβx + bβy + cβz = dβDi sini, x, y, dan z mewakili variabel-variabel yang tidak diketahui dalam SPLTV. Sedangkan aβ, aβ, aβ, bβ, bβ, bβ, cβ, cβ, cβ adalah koefisien-koefisien yang diketahui, dan dβ, dβ, dβ adalah konstanta-konstanta yang umum SPLTV ini menunjukkan hubungan linear antara tiga variabel dan memungkinkan kita untuk menganalisis sistem tersebut. Dalam pemecahan SPLTV, tujuan utamanya adalah menemukan nilai-nilai x, y, dan z yang memenuhi ketiga persamaan tersebut secara dari SPLTV dapat berupaTidak ada solusi Ketika ketiga persamaan saling bertentangan dan tidak ada titik yang memenuhi unik Ketika ketiga persamaan membentuk sebuah titik tunggal yang memenuhi tak terhingga Ketika ketiga persamaan saling bergantung satu sama lain dan membentuk garis atau bidang yang memiliki banyak titik yang memenuhi umum SPLTV menjadi dasar dalam menerapkan metode penyelesaian yang sesuai untuk mencari solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel Penyelesaian SPLTVAda beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel SPLTV. Berikut adalah beberapa metode umum yang sering digunakan1. Metode SubstitusiMetode ini melibatkan mengisolasi salah satu variabel dalam salah satu persamaan, kemudian menggantikan variabel tersebut dalam persamaan lain. Proses ini dilakukan berulang kali hingga ditemukan solusi yang memenuhi semua Metode EliminasiMetode ini melibatkan mengeliminasi satu variabel secara bertahap dengan menggabungkan persamaan-persamaan dalam sistem. Caranya adalah dengan mengalikan atau menambahkan persamaan-persamaan tersebut sehingga variabel yang ingin dieliminasi menghilang. Proses ini dilakukan berulang kali hingga ditemukan solusi yang memenuhi semua Metode Matriks dan Operasi Baris ElementerDalam metode ini, SPLTV diubah menjadi bentuk matriks dengan menggunakan koefisien-koefisien dalam sistem. Kemudian, operasi baris elementer, seperti mengalikan baris dengan suatu konstanta, menukar baris, atau menambahkan baris, digunakan untuk menyederhanakan matriks menjadi bentuk yang lebih mudah dipecahkan. Akhirnya, matriks tersebut dipecahkan menggunakan metode invers, determinan, atau eliminasi Gauss-Jordan untuk mendapatkan solusi Metode CramerMetode ini menggunakan determinan-determinan untuk mencari solusi SPLTV. Setiap variabel diperlakukan sebagai penentu tunggal dalam sistem persamaan. Dengan menggunakan matriks koefisien dan matriks hasil, determinan-determinan ini dihitung dan dibagi dengan determinan utama untuk mendapatkan nilai-nilai metode penyelesaian SPLTV tergantung pada kompleksitas sistem dan preferensi pribadi. Dalam prakteknya, kombinasi dari beberapa metode di atas juga dapat digunakan untuk menemukan solusi SPLTV dengan Soal SPLTVBerikut adalah contoh soal SPLTV beserta jawabannyaSoalTentukan solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut2x + y β z = 5x β 3y + 2z = -43x + 2y + 4z = 2JawabanKita dapat menggunakan metode eliminasi untuk menyelesaikan SPLTV ini. Berikut langkah-langkah penyelesaiannyaMengeliminasi variabel x dari persamaan pertama dan keduaKali persamaan pertama dengan 3 dan persamaan kedua dengan + 3y β 3z = 152x β 6y + 4z = -8Kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama yang sudah dikalikan.6x + 3y β 3z β 2x β 6y + 4z = 15 β -84x + 9y β 7z = 23Mengeliminasi variabel x dari persamaan pertama dan ketigaKali persamaan pertama dengan 3 dan persamaan ketiga dengan + 3y β 3z = 156x + 4y + 8z = 4Kurangi persamaan ketiga dari persamaan pertama yang sudah dikalikan.6x + 3y β 3z β 6x + 4y + 8z = 15 β 4-y β 11z = 11Mengeliminasi variabel y dari persamaan kedua dan ketigaKali persamaan kedua dengan 2 dan persamaan ketiga dengan β 6y + 4z = -89x + 6y + 12z = 6Kurangi persamaan ketiga dari persamaan kedua yang sudah dikalikan.9x + 6y + 12z β 2x β 6y + 4z = 6 β -87x + 12z = 14Sekarang kita memiliki tiga persamaan4x + 9y β 7z = 23-y β 11z = 117x + 12z = 14Dengan menggunakan metode eliminasi atau substitusi lanjutan, kita dapat mencari nilai-nilai variabel. Setelah melakukan perhitungan, kita akan mendapatkanx = 3y = -2z = 1Jadi, solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah x = 3, y = -2, dan z = keseluruhan, sistem persamaan linear tiga variabel merupakan alat yang penting dalam matematika terapan. Dengan mempelajari dan memahami cara menyelesaikan sistem persamaan ini, kita dapat menganalisis dan memecahkan berbagai masalah dunia nyata yang melibatkan hubungan memecahkan sistem persamaan linear tiga variabel, kita menggunakan metode dan teknik matematis yang membantu kita mencari solusi yang konsisten dan memuaskan. Melalui pemahaman yang baik tentang sistem persamaan linear tiga variabel, kita dapat mengidentifikasi pola, hubungan, dan ketergantungan antarvariabel yang persamaan ini dapat digunakan dalam berbagai bidang seperti ilmu fisika, ekonomi, dan teknik, di mana kita perlu menganalisis hubungan kompleks antara tiga variabel yang saling menggunakan konsep dan metode yang tepat, kita dapat menemukan solusi yang akurat dan relevan untuk sistem persamaan linear tiga variabel. Selain itu, pemahaman yang mendalam tentang sistem persamaan ini memberikan landasan yang kuat bagi pengembangan pengetahuan matematika kita dan membantu kita memecahkan masalah yang lebih kompleks di masa depan.
β Pada artikel ini aku akan bahas SPLTV atau Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel super lengkap mulai dari pengertian, contoh soal, sampai dengan itu sistem persamaan linear tiga variabel?Sistem persamaan linear tiga variabel adalah suatu sistem persamaan linear yang memiliki tiga variabel dan biasanya variabel yang dimaksud disimbolkan dengan huruf x, y, dan bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel adalah sebagai berikut\\color{red}{a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1}}\\\color{red}{a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = d_{2}}\\\color{red}{a_{3}x + b_{3}y + c_{3}z = d_{3}}\Keterangan\a_{1}, a_{2}, a_{3}\, \b_{1}, b_{2}, b_{3}\, \c_{1}, c_{2}, c_{3}\ merupakan koefisien.\x, y, z\ merupakan variabel.\d_{1}, d_{2}, d_{3}\ merupakan Menyelesaikan SPLTV Sistem Persamaan Linear Tiga VariabelCara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel ada beberapa metode, di artikel ini kita akan menggunakan tiga metode yaitu, substitusi, eliminasi, dan gabungan eliminasi dan substitusi.Biar kamu paham, aku akan coba kasih soal dan pembahasan sistem persamaan linear tiga soal berikut!Anwar ingin membeli 4 buku, 3 pensil, dan 2 penghapus dengan membawa uang Berpakah kembalian uang Anwar jika diketahui harga-harga sebagai berikut2 buku, 1 pensil, dan 3 penghapus adalah buku, 1 pensil, dan 2 penghapus adalah buku, 2 pensil, dan 1 penghapus adalah buku adalah \x\, pensil adalah \y\, dan penghapus adalah \z\. Maka model matematika sistem persamaan linear tiga variabelnya adalah sebagai berikut\\begin{cases} 2x + y + 3z &= 23000 \\ x + y + 2z &= 15000 \\ 2x + 2y + z &= 21000 \end{cases}\Untuk memudahkan perhitungan, kita simpan dulu tiga nol dibelakang dan kasih nama \P_{1}\ untuk persamaan satu, \P_{2}\ untuk persamaan dua, dan \P_{3}\ untuk persamaan tiga.\2x + y + 3z = 23\ β¦\P_{1}\\x + y + 2z = 15\ β¦\P_{2}\\2x + 2y + z = 21\ β¦\P_{3}\1. Metode SubstitusiMetode substitusi adalah salah satu metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel. Metode substitusi cara kerjanya dengan mengganti variabel hingga akhirnya mendapatkan nilai dari variabel yang metode substitusi pada sistem persamaan linear tiga variabel aku bagi jadi tiga langkah, berikut ini penjelasan 1Pilih satu persamaan kemudian ubah pernyataannya kedalam bentuk dua variabel lain, setelah itu beri kita ambil \P_{1}\ dan kita nyatakan \y\ dalam bentuk \x\ dan \z\.\2x + y + 3z = 23\\y = 23 β 2x β 3z\ β¦\P_{4}\Biar gak pusing kita kasih nama \P_{4}\ aja 2Masukan \P_{4}\ kedalam dua persamaan lain, yaitu kedalam \P_{2}\ dan \P_{3}\ setelah itu beri nama persamaan baru yang terbentuk.\P_{4}\ ke \P_{2}\\x + y + 2z = 15\\x + 23 β 2x β 3z + 2z = 15\\x + 23 β 2x β 3z + 2z = 15\\β x β z = 15 β 23\\β x β z = -8\ β¦\P_{5}\\P_{4}\ ke \P_{3}\\2x + 2y + z = 21\\2x + 223 β 2x β 3z + z = 21\\2x + 46 β 4x β 6z + z = 21\\-2x β 5z = 21-46\\-2x β 5z = -25\ β¦\P_{6}\Langkah 3Selesaikan dua persamaan baru yang didapat dari langkah 2 menggunakan metode substitusi seperti SPLDV.\β x β z = -8\ β¦\P_{5}\\-2x β 5z = -25\ β¦\P_{6}\Dari \P_{5}\ kita dapatkan persamaan baru, yaitu \x = -z + 8\ β¦\P_{7}\.Masukan \P_{7}\ ke \P_{6}\\-2-z + 8 β 5z = -25\\2z β 16 β 5z = -25\\-3z = -25 + 16\\-3z = -9\\\displaystyle z = \frac{-9}{-3}\\z = 3\Masukan \z = 3\ ke \P_{7}\\x = -z + 8\\x = -3 + 8\\x = 5\Masukan \z = 3\ dan Masukan \x = 5\ ke \P_{4}\.\y = 23 β 2x β 3z\\y = 23 β 25 β 33\\y = 23 β 10 β 9\\y = 4\Jadi \x,y,z = 5,4,3\atauBuku pertanyaan pada soal!Anwar ingin membeli 4 buku, 3 pensil, dan 2 penghapus dengan membawa uang Berpakah kembalian uang Anwar?\\begin{aligned} 4x + 3y + 2z &= 4 5000 + 34000 + 2 3000 \\ &= 4 5000 + 34000 + 2 3000 \\ &= 20000 + 12000 + 6000 \\ &= 38000 \end{aligned}\Uang Anwar = = = soal sistem persamaan linear tiga variabel di atas terjawab juga. Berikutnya kita akan menggunakan cara yang kedua yaitu metode Metode EliminasiMetode elimasi cara kerjanya dengan menghilangkan variabel lain untuk mendapatkan nilai dari variabel yang akan menggunakan contoh soal sistem persamaan linear tiga variabel sebelumnya untuk memahami metode eliminasi ini, kamu akan lihat kalau metode ini juga akan menghasilkan nilai yang gak pusing langsung aja praktek, inilah contoh soal sistem persamaan linear tiga variabel metode soal berikut!\2x + y + 3z = 23\ β¦\P_{1}\\x + y + 2z = 15\ β¦\P_{2}\\2x + 2y + z = 21\ β¦\P_{3}\Langkah 1Tentukan variabel yang akan dieliminasi/dihilangkan, kemudian eliminasi menggunakan dua persamaan yang berbeda. Biasanya \P_{1}\ \P_{2}\, \P_{1}\ \P_{3}\Untuk mengeliminasi suatu variabel maka koefisien dari varibel yang akan di eliminasi pada kedua persamaan tersebut harus sama. Agar lebih mudah, kita akan mengeliminasi \y\ karena koefisiennya udah \P_{1}\ dan \P_{2}\\2x + y + 3z = 23\\\displaystyle \frac{x + y + 2z = 15}{} -\\x + z = 8\ β¦\P_{4}\Eliminasi \P_{1}\ dan \P_{3}\\2x + y + 3z = 23\\2x + 2y + z = 21\Karena kita akan menghilangkan \y\, maka \P_{1}\ harus dikali 2 agar koefisien \y\ sama dengan \P_{3}\\4x + 2y + 6z = 46\ β¦\2 P_{1}\\\displaystyle \frac{2x + 2y + z = 21}{} -\\2x + 5z = 25\ β¦\P_{5}\Langkah 2Eliminasi persamaan \P_{4}\ dan \P_{5}\ untuk mendapatkan nilai dari dua variabel.\x + z = 8\\\displaystyle \frac{2x + 5z = 25}{} -\Jangan lupa, kita samakan dulu koefisiennya. Misalkan kita akan eliminasi variabel \x\, maka kita kalikan \2\ ke persamaan\P_{4}\.\2x + 2z = 16\ β¦\2P_{4}\\\displaystyle \frac{2x + 5z = 25}{} -\ β¦\P_{5}\\-3z = -9\\z = 3\Untuk mencari \x\, kita eliminasi variabel \z\. Jangan lupa untuk menyamakan koefisiennya dulu.\5x + 5z = 40\ β¦\5P_{4}\\\displaystyle \frac{2x + 5z = 25}{} -\ β¦\P_{5}\\3x = 15\\x = 5\Langkah 3Ulangi langkah 1 dan langkah 2 untuk mencari nilai variabel terakhir, tentunya variabel yang akan di cari jangan di \x\ menggunakan \P_{1}\ dan \P_{2}\\2x + y + 3z = 23\ β¦\P_{1}\\\displaystyle \frac{2x + 2y + 4z = 30}{} -\ β¦\2P_{2}\\-y -z = -7\ β¦\P_{6}\Eliminasi \x\ menggunakan \P_{1}\ dan \P_{3}\\2x + y + 3z = 23\\\displaystyle \frac{2x + 2y + z = 21}{} -\\-y + 2z = 2\ β¦\P_{7}\Eliminasi \z\ menggunakan \P_{6}\ dan \P_{7}\\-2y -2z = -14\ β¦\2P_{6}\\\displaystyle \frac{-y + 2z = 2}{} +\ β¦\P_{7}\\-3y = -12\\y = 4\Jadi \x,y,z = 5,4,3\atauBuku 4x + 3y + 2z &= 4 5000 + 34000 + 2 3000 \\ &= 4 5000 + 34000 + 2 3000 \\ &= 20000 + 12000 + 6000 \\ &= 38000 \end{aligned}\Uang Anwar = = = itulah contoh soal sistem persamaan linear tiga variabel metode eliminasi, gampang banget kan?3. Metode GabunganMetode gabungan adalah metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dengan menggabungkan metode substiusi dan metode prakteknya bisa aja substitusi dulu kemudian eliminasi atau sebaliknya. Aku sendiri lebih suka eliminasi dulu lalu substitusi.\2x + y + 3z = 23\ β¦\P_{1}\\x + y + 2z = 15\ β¦\P_{2}\\2x + 2y + z = 21\ β¦\P_{3}\Karena kamu udah tau metodenya, jadi aku langsung aja ya ke cara menyelesaikannya. Kita akan gunakan metode eliminasi lalu disambung metode substitusi.\2x + y + 3z = 23\ β¦\P_{1}\\\displaystyle \frac{x + y + 2z = 15}{} -\ β¦\P_{2}\\x + z = 8\ β¦\P_{4}\Terkadang kita juga harus jeli memilih persamaan yang akan digunakan. Langkah paling cepat, kita pilih \P_{2}\ dan \P_{3}\\2x + 2y + 4z = 30\ β¦\2P_{2}\\\displaystyle \frac{2x + 2y + z = 21}{} -\ β¦\P_{3}\\3z = 9\\z = 3\Selanjutnya substitusikan \z\ ke \P_{4}\\x + z = 8\\x + 3 = 8\\x = 8-3\\x = 5\Untuk mencari \y\, ambil salah satu persamaan dan nyatakan \y\ dalam bentuk \x\ dan \z\. Misalkan kita ambil \P_{2}\\x + y + 2z = 15\\y = 15 β x β 2z\\y = 15 β 5 β 23\\y = 15 β 5 β 6\\y = 4\Jadi \x,y,z = 5,4,3\atauBuku 4x + 3y + 2z &= 4 5000 + 34000 + 2 3000 \\ &= 4 5000 + 34000 + 2 3000 \\ &= 20000 + 12000 + 6000 \\ &= 38000 \end{aligned}\Uang Anwar = = = Sistem Pesamaan Linear Tiga VariabelAgar kamu lebih paham lagi coba deh kerjain soal-soal dibawah ini!Dengan sering latihan mengerjakan soal, pastinya kamu akan lebih menguasai soal sistem persamaan linear tiga variabel ini dengan Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut!\\begin{cases} 2x + y + 3z &= 12 \\ x + 3y &= -1 \\ \frac{1}{3} z &= 1 \end{cases}\2. Selesaikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut!Zahira ingin membeli 4 buah pir, 2 buah apel, dan 3 buah jeruk. Berapa yang harus dibayar Zahira apabila diketahui ketentuan sebagai berikut!3 pir, 2 apel, 1 jeruk harganya pir, 3 apel, 2 jeruk harganya pir, 2 apel, 3 jeruk harganya itulah pembahasan awal sistem persamaan linear tiga variabel. Bagikan tulisan ini agar orang lain mendapatkan manfaatnya juga, ajak temen-temen kamu untuk belajar matematika di Edumatik, karena semuanya gratiiisss..!!
Halo! Apa kabar semuanya? Semoga selalu dalam keadaan baik-baik saja ya! Di kesempatan kali ini kita akan melanjutkan materi Matematika kelas 10 bab 2 mengenai sistem persamaan linear tiga variabel. Apakah kamu sudah siap? Jangan lupa buka buku tulismu, siapkan pensil, dan buku ajar Matematika keluaran Kemdikbud. Oke, langsung simak ulasan di bawah ini ya! Bab 2 Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Cheerful Indian Boy/Student with Mathematics Problems Menyusun dan Menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Definisi Sistem persamaan linear tiga variabel adalah suatu sistem persamaan linear dengan tiga variabel. Contoh Diketahui tiga persamaan 1/x + 1/y + 1/z = 2, 2p + 3q β r = 6, dan p + 3q = 3. Ketiga persamaan ini tidak membentuk sistem persamaan linear tiga variabel, sebab persamaan 1 /x + 1/y + 1/z = 2 bukan persamaan linear. Jika persamaan 1/x + 1/y + 1/z = 2 diselesaikan, diperoleh persamaan zx + y + xy = 2xyz yang tidak linear. Alasan kedua adalah variabel-variabelnya tidak saling terkait. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Perbedaan antara sistem persamaan linear dua variabel SPLDV dengan sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV terletak pada banyak persamaan dan variabel yang digunakan. Oleh karena itu, penentuan himpunan penyelesaian SPLTV dilakukan dengan cara atau metode yang sama dengan penentuan penyelesaian SPLDV, kecuali dengan metode grafik. Umumnya penyelesaian sistem persamaan linear tiga variable diselesaikan dengan metode eliminasi dan substitusi. Definisi Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dengan tiga variable adalah suatu himpunan semua triple terurut x, y, z yang memenuhi setiap persamaan linear pada sistem persamaan tersebut. Contoh Jumlah tiga bilangan sama dengan 45. Bilangan pertama ditambah 4 sama dengan bilangan kedua, dan bilangan ketiga dikurangi 17 sama dengan bilangan pertama. Tentukan masing-masing bilangan tersebut. Alternatif Penyelesaian Misalkan x = bilangan pertama y = bilangan kedua z = bilangan ketiga Berdasarkan informasi pada soal diperoleh persamaan sebagai berikut. x + y + z = 45 x + 4 = y z β 17 = x Ditanyakan Bilangan x, y, dan z. Kamu dapat melakukan proses eliminasi pada persamaan dan sehingga diperoleh Selain metode eliminasi, substitusi, dan campuran antara eliminasi dan substitusi kamu dapat mencoba sendiri, terdapat cara lain untuk menyelesaikan suatu SPLTV, yaitu dengan cara determinan dan menggunakan invers matriks. Namun, pada bab ini metode ini tidak dikaji. Sekarang kita akan menemukan penyelesaian SPLTV dengan metode lain. Kita menententukan himpunan penyelesaian SPLTV secara umum berdasarkan konsep dan bentuk umum SPLTV yang telah ditemukan dengan mengikuti langkah penyelesaian metode eliminasi di atas untuk menemukan cara baru. Perhatikan bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga variabel x, y, dan z adalah sebagai berikut. Bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga variabel x, y, dan z adalah Lakukan kegiatan matematisasi mengkoordinasi pengetahuan dan keterampilan yang telah dimiliki siswa sebelumnya untuk menemukan aturan-aturan, hubungan-hubungan, dan struktur-struktur yang belum diketahui. Nilai variabel z di atas dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian koefisienkoefisien variabel x, y, dan konstanta pada sistem persamaan linear yang diketahui. Dengan menggunakan cara menentukan nilai z, ditentukan nilai x dan y dengan cara berikut. Daftar Pustaka Bornok Sinaga, Pardomuan Sinambela, Andri Kristianto Sitanggang, Tri Andri Hutapea, Sudianto Manulang, Lasker Pengarapan Sinaga, dan Mangara Simanjorang. 2017. Matematika SMA/MA/SMK/MK Kelas X. Jakarta Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud. This post was last modified on April 12, 2023 951 am
diketahui sistem persamaan linear tiga variabel berikut
